Progressions geomètriques.

Partim de la següent successió:
3, 21, 147, 1029, 7203, 50421,...
(1) Es tracta de una progressió geomètrica?
(2) De què depen que una successió cresca molt ràpidament?
(3) Els termes de la successió que hem vist dalt creixen molt, però en el cas de una progressió geomètrica, els termes poden decréixer? Què és el que fa que una progressió geomètrica siga decreixent?

21 3 = 147 21 = 1029 147 = 7203 1029 = 50421 7203 = ⋯ =7
(1) Observem que, a partir del segon terme, cadascun d'ells dividit per l'anterior dóna una constant que rep la denominació de raó i que la representarem per r . En aquest cas, r=7 .
Doncs bé, quan ens trobem amb una successió de nombres (diem que son els termes de la successió) en la qual hi ha un primer terme que representem per a 1 i cada terme des de a 2 en avant els obtenim multiplicant el terme anterior per un r ∈ [font cal [block [char R mathalpha]]] , diem que es tracta de una progressió geomètrica.

(2) • Si la raó és major que 1, la progressió és creixent i per a un a 1 o primer terme fixat, creixerà més a mesura que r siga més gran. Es fàcil vore-ho emprant una calculadora i registrant els termes sobre un paper.
• Si o<r<1 , la successió serà decreixent, per exemple, si a 1 =67 i r=0'7 , tindrem la progressió:
67, 46'9, 32'83, 22'981, 16'0867, 11'26069,...
on hem prepresentat per (') la coma decimal per a que no hi haja confusió en la coma que separa els termes (,).
En el example anterior, si r=0'1 , la progressió decreixerà més ràpidament:
67, 6'7, 0'67, 0'067, 0'0067,...
• Para una raò negativa, els termes es succeixen alternatívament positius i negatius. Així, si a 1 =5 i r=-3 , tenim la progressió:
5, -15, 45, -135, 405,...
• Càlcul del terme general. Raonem de la següent manera, pensant en cóm es formen els successius termes:
a 1 = a 1
a 2 = a 1 ⋅ r
a 3 = a 2 ⋅ r= a 1 ⋅ r 2
a 4 = a 3 ⋅ r= a 1 ⋅ r 3
..............................
a n = a 1 ⋅ r n-1
En la successió de dalt, el primer terme és a 1 =3 i r=7, per tant, a n =3 ⋅ 7 n-1 . Així podem comprovar que, per exemple a 6 =3 ⋅ 7 6-1 =3 ⋅ 7 5 =3 ⋅ 16807=50421 .

Pràctiques.
  1. Escriu els 5 primers termes d'una progressió aritmètica, de primer terme 5 i raó 2.
  2. de primer terme 5 y raó 1 2
  3. de primer terme -5 i raó 3.
  4. de primer terme 4 i raó -2.
  5. de primer terme 0'4 i raó 5.
Calcula la expressió del terme general dels cinc casos anteriors i comprova el terme a 5 que has escrit en tots ells.
Dels cinc casos dir quines progressions són creixents i quines decreixents en valor absolut i en quines el seu valor canvia el signe i per què.