Donats els tres sistemes d'equacions amb dues incògnites següents, estudieu si cada sistema és compatible; en el cas que ho siga, si és determinat o indeterminat, i en el cas que siga determinat, cal resoldre'l i dir el punt on les dues rectes es tallen.

Vejam primer el sistema $\left(1\right)$. En aquest sistema observem que la part esquerra de la segona equació no es pot obtindre de la part esquerra de la primera equació multiplicant aquesta última per cap nombre. Aleshores el sistema deu ser compatible determinat. Anem a comprovar-ho emprant el métode de sustitució. Aïllant la $x$ de la primera equació, tenim $x=-1-y,$ i sustituint en la segona tenim: $3\left(-1-y\right)+y=1.$ És a dir, $-3-3y+y=1.$ Tenim $-2y=4,$ i, per tant, $y=-2.$ Com que $x$ era $-1-y,$ tenim finalment $x=-1-\left(-2\right)=-1+2=1,$ de manera que el punt on les dues rectes es tallen és $\left(1,-2\right)$.

La recta $a$ és $x+y=-1$ i la $b$ és $3x+y=1$, i vegem en el gràfic que es tallen en el punt $\left(1,-2\right)$

Estudiem ara el sistema $\left(2\right)\mathrm{.}$

La segona equació del sistema es pot obtindre multiplicant membre a membre la primera equació per $-3.$ Resulta que el sistema és compatible però és indeterminat perquè té infinites solucions. Aquestes solucions es poden obtindre aïllant $y$ en la primera equació: $y=\frac{3-x}{2}=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\mathrm{.}$

Observem que si en la segona equació aïllem $y$ obtenim la mateixa equació:

Al tindre les dues equacions el mateix pendent i la mateixa ordenada en l'origen, vegem que es tracta de la mateixa recta. Aquesta última observació ens servirà de cara a l'estudi del sistema $\left(3\right)\mathrm{.}$

Totes les solucions del sistema es corresponen amb tots els punts de la recta, part de la qual es representa a continuació:

En la següent pàgina vegem el sistema (3)

En el sistema $\left(3\right)$

vegem que els coeficients de les incógnites de la primera equació són proporcionals als coeficients de les incógnites de la segona. D'aquest fet podem deduir que el pendent de la primera recta és igual al pendent de la segona. Vejam això:

Les dues rectes tenen el mateix pendent però distinta ordenada en l'origen; en la primera recta, per a $x=0,$ $y=\frac{3}{2}=1,5$; en la segona recta, quan $x=0,$ $y$ val $-\frac{7}{6}\approx -1,1667$ les rectes són distintes, són paral.leles i no tenen punts en comú, és a dir, no es tallen en cap punt. El sistema és incompatible. Això es pot veure en la següent gràfica: